2.3.1 Bézier
En general, es posible ajustar una curva de Bézier para cualquier numero de puntos de control. El numero de puntos de control que se debe aproximar y su posición relativa determina el grado de polinomio de Bézier.
La idea de definir geométricamente las formas no es demasiado compleja: un punto del plano puede definirse por coordenadas. Por ejemplo, un conjunto A tiene unas coordenadas(x1, y1) y a un punto B le corresponde (x2, y2).para trazar una recta entre ambos basta con conocer su posición.
Si en lugar de unir dos puntos con una recta se unen con una curva, surgen los elementos esenciales de una curva Bézier: los puntos se denominan puntos de anclaje o nodos. La forma de la curva se define por unos puntos invisibles en el dibujo, denominados puntos de control, manejadores o manecillas
Curvas lineales (grado 1)
- Solo dos puntos de control (P0, P1).
- Son líneas rectas.
- Podemos recorrer la curva con el parámetro t pertenece [0, 1] que recorre la recta P0 a P1.
La curva tiene dada la expresión:
B(t)=P0+(P1-P0) t=(1-t) P0+tP1, t є [0,1] .
La t en la función para curva lineal de Bézier se puede considerar como un descriptor de cuan lejos esta B(t) de P0 a P1. Por ejemplo cuando T= 0.25, B(t) es un cuarto dela longitud entre el punto P0 y el punto P1. Como t varia entre 0 y 1 , B(t) describe una línea recta de P0 a P1.
Curvas cuadráticas (grado 2)
- Tres puntos de control (P0, P1 y P2).
- Se construyen dos curvas lineales de Bézier entro P0-P1 y P1-P2.
- Se construye una tercera curva lineal de Bézier entre las dos anteriores.
- El t que recorre esta tercera recta, forma nuestra curva.
Una curva cuadrática de Bézier es el camino trazado por función B(t), dado los puntos: P0,P1 y P2,
B(t)=(1-t)^2 P0 +2t (1-t) P1+t^2 P2,t є [0,1] .
Para curvas cuadráticas se pueden construir puntos intermedios desde Q0 aQ1 tales que t varia de 0 a 1:
- Punto Q0 varia de P0 a P1 y describe una curva lineal de Bézier.
- Punto Q1 varia de P1 a P2 y describe una curva lineal de Bézier.
- Punto B(t) varia de Q0 a Q1 y describe una curva cuadrática de Bézier.
Propiedades de Bézier
- El grado de la base de los polinomio es uno menos que la cantidad de puntos de control.
- El primer y el ultimo punto de la curva coincide con el primer y ultimo punto del grafo de control.
- El vector tangente en los extremos de la curva tiene la misma dirección que el primer y el ultimo segmento del grado de control respectivamente.
- El tiene control global.
Desventajas de las curvas de Bézier
Para grafos de control complejos (formados por muchos puntos)
- El grado de la base es elevado.
- Tienden a suavizar demasiado la geometría del grafo de control.
- Se tornan insensibles a pequeños cambios locales. El desplazamiento de un solo punto de control casi no produce efecto en la curva.
- El control global provoca que el desplazamiento de un solo punto de control modifique a toda la curva.
Aplicaciones de la curva de Bézier
Las curvas de Bézier han sido ampliamente usadas en los gráficos generados por ordenador para modelado de curvas suaves, como la curva esta completamente contenida en la envolvente convexa de los puntos de control, dichos puntos pueden ser suavizados gráficamente sobre el área de trabajo y usados para manipular la curva de una forma muy intuitiva. las transformaciones afines tales como traslación y rotación pueden ser aplicadas con gran facilidad a las curvas, aplicando las transformaciones respectivas sobre los puntos de control.
2.3.2 B-spline
Son las mas utilizadas en la practica:
- b-splines cuadráticos: fuentes True Type.
- b-splines cúbicos: los mas comunes en programas de diseño gráfico.
En general, no pasa por ningún punto de control (ni siquiera los extremos) , aunque se pude forzar que lo haga.
Principales ventajas sobre las curvas de Bézier:
- Es de grado acotado (aun definida por n puntos).
- Sobre todo, mas apropiada para el diseño interactivo: mas "suaves", control local.
Dado un conjunto de puntos P0, Pn, obtenemos una curva de aproximación compuesta por varios tramos, y las ecuaciones de cada tramo están influenciadas solamente por K vértices del polígono de control siendo K (orden de la B-spline ) un parámetro elegido a voluntad por el diseñador y lógicamente, K <n+1.
Los parámetros que intervienen en una curva B-spline se enumeran a continuación:
- P0,...Pn,n+1 vértices o puntos de control.
- Ni,K: funciones B-spline básica de orden K.
- d: grado de las B-spline básicas (elección usual, d=3).
- K:orden de la B-spline: K=d+1.
- N° de tramos:n-d+1.
- Suavidad global de la curva: CK-2=Cd-1.
Propiedades:
- No interpolen(salvo en P0,Pn, si así se especifica).
- Paramétricas P(t)=(x(t),y(t)).
- Suavidad Ck-2:K es el orden de la B-spline.
- No oscilan.
- Locales
- Difíciles de calcular salvo casos especiales con formula matricial: B-spline uniformes, Bézier.
- Mayor flexibilidad: elección de nodos permiten mas tipos de curva.
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