2.4 Fractales

¿Qué es la geometría fractal?

Una razón por la que la Geometría puede ser considerada, en algunas ocasiones, como algo frío o lejano es su incapacidad para describir la forma de una nube, una montaña, una costa o un árbol. Ni la montaña es cónica, ni la nube esférica: la Naturaleza presenta un grado de complejidad mucho mayor que el de las formas clásicas euclídeas.

Se trata, por tanto, de encontrar una Geometría para poder describir lo irregular, lo que Euclides consideraba "informe". A finales del siglo XIX y principios del siglo XX, algunos matemáticos como Cantor, Peano o Hilbert, habían descrito objetos geométricos monstruosos, a los que se consideró como estructuras patológicas y simples anécdotas para el entretenimiento de los aficionados, ya que son curvas cerradas de longitud infinita que encierran una superficie finita o bien "llenan" toda una porción del plano...

Sin embargo, según Mandelbrot, la Naturaleza ha gastado una broma a los matemáticos, ya que aquellas formas extravagantes que inventaron para escapar al naturalismo de su época, han resultado ser inherentes a muchos objetos de la realidad.

La geometría fractal ofrece un modelo alternativo que busca una regularidad en las relaciones entre un objeto y sus partes a diferentes escalas. Esta forma de regularidad no precisa el encorsetamiento del objeto en otras formas geométricas que, aunque elementales, no dejan de ser externas al mismo, sino que busca la lógica interna del propio objeto mediante relaciones intrínsecas entre sus elementos constitutivos cuando estos se examinan a diferentes escalas. De esta forma no se pierden ni la perspectiva del objeto global, ni del aspecto del mismo en cada escala de observación. La geometría fractal busca y estudia los aspectos geométricos que son invariantes con el cambio de escala.

¿Qué es un fractal?

El término fractal fue acuñado por el profesor Mandelbrot (1975) para designar objetos matemáticos de estructura irregular y compleja que se encuentran presentes en muchos comportamientos y formas de la naturaleza.

Bajo esa denominación se incluyen objetos geométricos de muy distinta procedencia, cuya característica común es la estructura de los procesos que les dan origen. Un fractal es el producto final que se genera mediante la iteración infinita de un proceso geométrico específico, en general muy simple. Esta simplicidad en la construcción produce, sin embargo, objetos que presentan una extraña complejidad y, en ocasiones, una belleza espectacular.

Fractales lineales

 Los fractales lineales son aquellos que se construyen con un cambio en la variación de sus escalas, es decir,  son exactamente idénticos en todas sus escalas hasta el infinito. Por tanto, si vemos una parte específica muy pequeña de una forma fractal la veremos igual o similar a la forma original del fractal, solamente que más pequeña.

Los primeros fractales lineales que se conocen datan de finales del siglo XIX, mucho  antes de que se hubiera definido formalmente lo que era un fractal. Estos conjuntos eran considerados "monstruos matemáticos", por tener características que los matemáticos de entonces no podían explicarse.

Conjunto de cantor

Este conjunto fue introducido por  Georg Cantor en 1883 y  es un destacado subconjunto fractal del intervalo real [0, 1].

Se construye de modo recursivo dando los siguientes pasos:

• Se parte de un segmento de longitud 1.
• Se divide en tres partes iguales y se elimina la parte central abierta (es decir, sin incluir los extremos).
• Cada una de las otras dos se divide en tres partes iguales y se eliminan las partes centrales (abiertas) en cada una de ellas.
• Los pasos siguientes son idénticos: quitar el tercio de todos los intervalos que quedan. 
• El proceso no tiene fin.

Curva de Hillbert

También conocida como la curva que recubre el plano de Hilbert, es una curva fractal continua que recubre el plano descrita inicialmente por el matemático alemán David Hilbert en 1891.

Se construye mediante el procedimiento siguiente:

• Se parte de un cuadrado.
• Se hallan los puntos medios de los lados y se forman cuatro cuadrados iguales. Unimos los puntos medios de estos cuadrados mediante tres segmentos.
• Se repite el proceso en cada unos de los cuadrados anteriores uniendo además mediante segmentos adicionales las terminaciones de las líneas poligonales en cada cuadrado.
• Se repite este proceso indefinidamente.

Copo de nieve de Koch

El copo de nieve de Koch, también llamado estrella de Koch, es una curva cerrada continua pero no diferenciable en ningún punto. descrita por el matemático sueco Helge von Koch en 1904.

Su construcción se realiza mediante un proceso iterativo que se inicia con un triángulo equilátero en el que finalmente cada uno de sus lados queda sustituido por lo que se llama una curva de Koch.

Triangulo de Sierpinski

Este triángulo recibe su nombre de Waclaw Sierpinski, quien lo propuso en 1915.

Para construirlo se sigue el siguiente proceso:

• Se parte de un triángulo equilátero.
• Se hallan los puntos medios de los lados y se unen entre sí formando un nuevo triángulo invertido que ser recorta de la figura.
• Repetimos el proceso en cada uno de los triángulos que aparecen en el punto anterior.
• Seguimos indefinidamente este proceso.

Fuentes de consulta:

• http://graficacionsansy.blogspot.com/2014/09/que-es-la-geometria-fractal-una-razon.html